10.3 Empréstitos Normales.
Caracteres que distinguen este tipo de empréstitos.
- El cobro periódico de intereses.
- La ausencia de características comerciales:
E = C => Pe = O; C= C’ => Ps = O; Ls = O; G = O
- La amortización mediante anualidades constantes y pos pagables:
a1 = a2 =… = an = a.
- Valoración de la operación a tipo de interés constante:
i1 = i2 = … = in = i
La correlación es total entre el préstamo francés y el emprestamos normal, pudiendo extrapolarse sus fórmulas.
Co = N · C = a · a n/i
CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE EMPRESTITO
Las expresiones algebraicas de los diferentes elementos están referidas a un año cualquiera de la vida del empréstito, y son obtenidas a partir de los datos conocidos como Co, N, C, i y n.
La anualidad
A partir de N · C = a · a n/i
Despejando “a”:
a = N · C / a n/i
Cuota de amortización. Número de títulos amortizados
En cada año, la cuota de amortización es el producto del número de títulos que se reembolsan en ese año por el importe de reembolso del título.
As = Ns · C
Al igual que en el préstamo francés, tanto las cuotas de amortización como el número de títulos amortizados cada año varían en progresión geométrica creciente de razón (1 + i).
En el préstamo francés: As = As-1 · (1 + i)
Para el empréstito normal: As = Ns · C = Ns-1 · C · (1+i)
Dividiendo por “C”: Ns = Ns-1 · ( 1 + i )
Por otra parte:
En el préstamo francés: As = A1 · (1+i)^s-1
Para el empréstito normal: As = Ns · C = N1 · C · ( 1+i )^s-1
Dividido por “C”: Ns = N1 · ( 1+i)^s-1
a) A través de la anualidad
En el primer año: a= A1 + I1 = N1 · C + N · C · I
Despejando N1: N1= a – N · C · i / C
b) A través de Co = N · C
Si se extrapola el desarrollo del préstamo francés, se concluye:
En el préstamo francés: Co = A1 · Sn/i
Para el empréstito normal: Co = N · C = N1 · C · Sn/i
Por lo que: N1 = N / Sn/i
Total de obligaciones amortizadas
Es el resultado de sumar los números de obligaciones amortizadas en los sorteos celebrados.
Na/s = N1 + N2 + … + Ns =
= N1 + N1(1 + i) + … + N1 (1+i) s-1 =
= N1 · [1+ (1 + i) + … + (1 + i)s-1]
Ss/i
Como N1 = N / Sn/i
Sustituyendo: Nas = N · Ss/i / Sn/i
Obligaciones vivas o en circulación
Sin olvidar el préstamo francés y siguiendo el método prospectivo, el capital pendiente, ahora capital vivo, al final de evitar un año “s” cualquiera es:
Cs = Nvs · C = a · an-s/i
Despejando: Nvs = a / C · an-s/i
Como a = N · C / an/i
Por tanto, sustituyendo:
Nvs = (N · C / C) · ( 1 / an/I ) · an-s/i
También se puede obtener el número de obligaciones vivas en el año cualquiera por diferencia entre el total de obligaciones, N, y las obligaciones amortizadas hasta ese año, Nas.
Nvs = N – Nas = N – N · (Ss/i / Sn/i)
Cuota de interés
En cada periodo es igual al producto del tipo de interés del empréstito y la deuda nominal pendiente de amortizar en el periodo inmediatamente anterior.
Is = Nvs-1 · C · i
Por el método prospectivo se conoce Nvs-1:
Nvs-1 = N · (an-s+1/i / an/i)
Sustituyendo:
Is = N · C · I · (an-s+1/i / an/i)
Otra forma de obtener las cuotas de interés es:
Is N · C · i · [ 1- (Ss-1/i / Sn/i ) ]
Siempre resulta de gran utilidad tener presentes las fórmulas del préstamo francés, para la obtención de las variables del empréstito normal.
CUADRO DE AMORTIZACION. METODOS.
El cuadro de amortización se resuelve de una forma similar a la del préstamo francés, pero se presenta una diferencia importante de orden práctico: en el caso del empréstito hay que amortizar un número exacto de obligaciones; sin embargo, el valor teórico de la cuota de amortización normalmente no será múltiplo de C.
El problema se puede resolver por dos métodos:
- Método de capitalización de los residuos.
- Método de redondeo de las amortizaciones teóricas.
La anualidad, por los dos métodos, deja de ser constante para hacerse ligeramente variable, tomando valores dentro de un intervalo cuya amplitud no suele sobrepasar el importe nominal C. Estas variaciones no representan o provocan cambio significativo en la naturaleza del empréstito.
